Question

【题目】已知函数.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，若实数满足，求证：

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由在上恒成立可得，即，为此只要求得的最小值即可；

（2）由（1）在上单调递增，又，这样满足的必满足，因此只要证明，也即只要证，只要证，即，为此考虑函数在上的性质即可。注意，因此只要证时，，这又可利用导数研究函数的性质得到证明。

（1），

由在上单调递增，

故当时，恒成立，

即恒成立.

设，，

因为，所以，

所以，即.

故在上单调递增，

故，故；

（2）当时，，

，

故在上单调递增，

又因为，且，

故.

要证，只需证，

因为在上单调递增，

故只需证，

即只需证，

即只需证.

令，

，

令，

则，

所以在上单调递增，

所以，

故在上单调递减，

故，

故原不等式成立.