Question

在△ABC中，角A，B，C满足
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将已知等式左边第一项第二个因式利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用诱导公式变形，求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数即可；
（Ⅱ）由B的度数，利用三角形的内角和定理求出A+C的度数，用A表示出C，代入sinA+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由这个角的范围求出正弦函数的值域，即可得出所求式子的范围．
解答：解：（Ⅰ）由已知2cosB[1+2cos（A+C）]+2cos²B-1=0，
可化为：2cosB（1-cosB）+2cos²B-1=0，即2cosB-1=0，
解得：cosB=，又B为三角形的内角，
则B=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）B=，得到A+C=，即C=-A，且0＜A＜，
∴sinA+sinC=sinA+sin（-A）
=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA
=sin（A+），
∵＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，
则sinA+sinC的取值范围为（，]．
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练公式是解本题的关键．