Question

已知函数f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x₁＜x₂时，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2(

1

x1

-1)．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；
（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x-1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．

解答：解：（Ⅰ）求导得f′（x）=

2-ax

x

，x＞0．
若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；
若a＞0，当x∈（0，

2

a

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（

2

a

，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，
又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．
若a＞2，当x∈（

2

a

，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．
若0＜a＜2，当x∈（1，

2

a

）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．
若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
f（x）≤f（1）=0，合题意．
故a=2，且lnx≤x-1（当且仅当x=1时取“=”）．
当0＜x₁＜x₂时，f（x₂）-f（x₁）=2ln

x2

x1

-2（x₂-x₁）+2
＜2（x

x2

x1

-1）-2（x₂-x₁）+2
=2（

1

x1

-1）（x₂-x₁），
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2（1

1

x1

-1）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．