题目内容

证明：如果a,b,c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取“=”）.

思路分析：仿照二次基本不等式的证明方法，先作差整理，化为可以判断符号的完全平方式的形式，或可以判断符号的积的形式，进而结论可以得证.

证明：∵a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)［(a+b)2-(a+b)c+c2］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab］

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

=(a+b+c)［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］,

又∵a,b,c∈R+,∴上式≥0,从而a3+b3+c3≥3abc.

练习册系列答案
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有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”．
（Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M-1；
（Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M-1对应的变换作用下所得△A1B1C1的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：
x=cosθ
y=
2
2
sinθ
（θ为参数）交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范围．
（3）（选修4-5 不等式证明选讲）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．
 选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将选作标记用2B铅笔涂黑，每小题10分，共20分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
A、（选修4-1：几何证明选讲）
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，求证：AB2=AE•AD
B、（选修4-2：矩形与变换）
已知a，b实数，如果矩阵M=
1a
b2
所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
C、（选修4-4，：坐标系与参数方程）
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的动点，判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离．
D、（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c是不完全相等的正数，求证：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．
（2012•深圳二模）如图，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形A′B′C′D′，其中A与A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）证明AD′∥平面BB′C′C，并指出四边形AB′C′D′的形状；
（2）如果四边形中AB′C′D′中，AD′=
2
，AB′=
5
，正方形的边长为
6
，求平面ABCD与平面AB′C′D′所成的锐二面角θ的余弦值．
已知函数f（x）=x，g（x）=3-x2．
（1）求函数F（x）=f（x）g（x）的极值；
（2）设m是负实数，求函数H（x）=f（x）g（x）-m的零点的个数；
（3）如果存在正实数a，b，c，使得f（a）g（b）=f（b）g（c）=f（c）g（a）＞0，试证明a=b=c．

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