Question

如图、椭圆的一个焦点是F(1，0)，O为坐标原点．

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|²＋|OB|²|AB|²，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点， 　　因为△MNF为正三角形， 　　所以， 　　即1＝ 　　因此，椭圆方程为 　　(Ⅱ)设 　　(ⅰ)当直线AB与x轴重合时， 　　 　　(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时， 　　设直线AB的方程为： 　　整理得 　　所以 　　因为恒有，所以AOB恒为钝角． 　　即恒成立． 　　 　　 　　又a2＋b2m2＞0，所以－m2a2b2＋b2－a2b2＋a2＜0对mR恒成立， 　　即a2b2m2＞a2－a2b2＋b2对mR恒成立． 　　当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2－a2b2＋b2＜0． 　　a2＜a2b2－b2，a2＜(a2－1)b2＝b4， 　　因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2－a－1＞0， 　　解得a＞或a＜(舍去)，即a＞， 　　综合(ⅰ)(ⅱ)，a的取值范围为(，＋)． 　　解法二： 　　(Ⅰ)同解法一， 　　(Ⅱ)解：(ⅰ)当直线l垂直于x轴时， 　　x＝1代入＝1． 　　因为恒有|OA|2＋|OB|2＜|AB|2，2(1＋yA2)＜4yA2，yA2＞1，即＞1， 　　解得a＞或a＜(舍去)，即a＞． 　　(ⅱ)当直线l不垂直于x轴时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 　　设直线AB的方程为y＝k(x－1)代入 　　得(b2＋a2k2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0， 　　故x1＋x2＝ 　　因为恒有|OA|2＋|OB|2＜|AB|2， 　　所以x21＋y21＋x22＋y22＜(x2－x1)2＋(y2－y1)2， 　　得x1x2＋y1y2＜0恒成立． 　　x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2 　　＝(1＋k2)． 　　由题意得(a2－a2b2＋b2)k2－a2b2＜0对kR恒成立． 　　①当a2－a2b2＋b2＞0时，不合题意； 　　②当a2－a2b2＋b2＝0时，a＝； 　　③当a2－a2b2＋b2＜0时，a2－a2(a2－1)＋(a2－1)＜0，a4－3a2＋1＞0， 　　解得a2＞或a2＞(舍去)，a＞，因此a． 　　综合(ⅰ)(ⅱ)，a的取值范围为(，＋)． 　　本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力．满分12分．