Question

已知函数f(x)=ax-

b

x

-2lnx，f(1)=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=f′(

1

an-n+1

)-n2+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2；
（3）在（2）的条件下，试比较

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

与

2

5

的大小，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性与导数的关系，f（x）在其定义域内为单调函数，在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，转化为恒成立问题去解决．
（2）根据导数的几何意义，f'（1）=0，求出a，确定f（x），f′（x）继而得出an+1的表达式，最后用数学归纳法证明．
（3）在（2）的条件下，将各项适当放缩，能得出

1

1+an

≤

1

2n-1

•

1

1+a1

(n≥2)，再结合等比数列求和公式化简不等式左边，去与

2

5

比较．

解答：解：（1）f（1）=a-b=0?a=b，
∴f(x)=ax-

a

x

-2lnx，
∴f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

．
要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，则在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，
当a=0时，f′(x)=-

2

x

＜0在（0，+∞）内恒成立；
当a＞0时，要使f′(x)=a(

1

x

-

1

a

)2+a-

1

a

＞0恒成立，则a-

1

a

＞0，解得a＞1，
当a＜0时，要使f′(x)=a(

1

x

-

1

a

)2+a-

1

a

＜0恒成立，则a-

1

a

＜0，解得a＜-1，
所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0．
（2）根据题意得：f'（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，∴f′(x)=(

1

x

-1)2，
于是an+1=f′(

1

an-n+1

)=(an-n)2-n2+1=

a

2 n

-2nan+1，
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a₁=4≥2×1+2，不等式成立；
假设当n=k时，不等式a_k≥2k+2成立，即a_k-2k≥2也成立，
当n=k+1时，a_k+1=a_k（a_k-2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以当n=k+1，不等式也成立，
综上得对所有n∈N^*时5，都有a_n≥2n+2．
（3）由（2）得a_n=a_n-1（a_n-1-2n+2）+1≥a_n-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a_n-1+1，
于是a_n+1≥2（a_n-1+1）（n≥2），
所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…a_n+1≥2（a_n-1+1），
累乘得：an+1≥2n-1(a1+1)，则

1

1+an

≤

1

2n-1

•

1

1+a1

(n≥2)，
所以

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

≤

1

1+a1

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=

2

5

(1-

1

2n

)＜

2

5

．

点评：本题考查函数单调性与导数的关系，数学归纳法，等比数列求和，考查分析解决、转化、放缩，计算等能力与方法．是难题．