Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=1+2^x．
（1）求其在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数的单调区间、值域；
（3）解不等式f（x）＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）当x＞0，-x＜0，代入已知式子可得x＞0时的解析式，再由奇函数的性质可得f（0）=0，综合可得解析式；
（2）由函数的解析式和图象的变换可得图象，进而可得单调区间和值域；（3）作出函数y=

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2

的图象，数形结合可得不等式

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的解集．

解答：解：（1）∵x＞0，∴-x＜0，
∴f（-x）=1+2-^x，
又f（x）为奇函数，∴-f（x）=f（-x）=1+2-^x，
化简可得f（x）=-（1+2-^x）
把x=0代入-f（x）=f（-x），可得f（0）=0
∴f（x）=

1+2x，x＜0 0    x=0 -(1+2-x)，x＞0

（2）由函数的解析式和图象的变换可得图象如下：

可知函数在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，
值域为（1，2）∪（-2，-1）∪{0}
（3）再作出函数y=

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的图象，
数形结合可得不等式f（x）＜

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2

的解集为（-∞，-1）∪[0，+∞）

点评：本题考查函数图象的作法，涉及函数解析式的求解和不等式的解集，属中档题．