Question

（2009•昆明模拟）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB+bcosA=2ctanC
（I）求tan（A+B）的值；
（II）若cosA=

3

5

，求tanB的值．

Answer 1

分析：（I）求tan（A+B）的值；
（II）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而确定出tanA的值，由tanB=tan[（A+B）-A]，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：（I）∵acosB+bcosA=2ctanC，
∴由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCtanC，
∴sin（A+B）=2sinCtanC，
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B），
∴tan（A+B）=-

1

2

；
（II）由cosA=

3

5

，可得sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∴tanA=

4

3

，
故tanB=tan[（A+B）-A]=

tan(A+B)-tanA

1+tan(A+B)tanA

=

- 1 2 - 4 3

1+ 4 3 ×(- 1 2 )

=-

11

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．