Question

设集合M={1，2，3，…，n} （n∈N⁺），对M的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则：①S₃=

17

．②S_n=

（n-1）2ⁿ+1

．

Answer 1

分析：由题意得对M的任意非空子集A一共有2ⁿ-1个：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次可以推出有2^n-1个子集含n，有2^n-2个子集不含n含n-1，有2^n-3子集不含n，n-1，含n-2…有2^k-1个子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含k，进而利用错位相减法求出其和．

解答：解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．
故有2^n-1个子含n，有2^n-2个子集不含n含n-1，有2^n-3子集不含n，n-1，含n-2…有2^k-1个子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含有k．
∵定义f（A）为A中的最大元素，
所以S_n=2^n-1×n+2^n-2×（n-1）+…+2¹×2+1
S_n=1+2¹×2+2²×3+2³×4+…2^n-1×n①
又2S_n=2+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2ⁿ×n…②错位相减，
所以①-②可得-S_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-2ⁿ×n
所以S_n=（n-1）2ⁿ+1
所以S₃=（3-1）×2³+1=17．
故答案为①S₃=17，②S_n=（n-1）2ⁿ+1．

点评：解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意，结合数列求和的方法求其和即可，找出规律是关键，此题难度比较大；