Question

已知函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[2，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）f′(x)=

ax-1

ax2

，x＞0，由函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，知a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立．由当x∈[1，+∞）时，

1

x

≤1，能求出a的取值范围．
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，当a≥

1

2

时，f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，f（x）在[2，+∞）上为增函数，f(x)min=f(2)=ln2-

1

2a

；0＜a＜

1

2

时，∵对于x∈[2，

1

a

)，有f′（x）＜0；对于x∈(

1

a

，+∞)有f′（x）＞0．故f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

．由此能求出f（x）在[2，+∞）上的最小值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，
∴f′(x)=

ax-1

ax2

，x＞0．…（2分）
∵函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立．
又∵当x∈[1，+∞）时，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．…（4分）
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，…（5分）
当

1

a

≤2时，即a≥

1

2

时，
∵f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，
这时f（x）在[2，+∞）上为增函数，
∴f(x)min=f(2)=ln2-

1

2a

．…（7分）
当0＜a＜

1

2

时，∵对于x∈[2，

1

a

)，有f′（x）＜0；对于x∈(

1

a

，+∞)有f′（x）＞0．…（9分）
∴f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

．…（11分）
综上，f（x）在[2，+∞）上的最小值为：
①当a≥

1

2

时，f(x)min=f(2)=ln2-

1

2a

．
②当0＜a＜

1

2

时，f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

．…（12分）

点评：本题考查求a的取值范围和求函数f（x）在区间[2，+∞）上的最小值．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．