Question

已知三点P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）.

（1）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（2）设点P、F₁、F₂关于直线y=x对称点分别为P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程.

Answer 1

解析：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6.

2a=|PF₁|+|PF₂|=+=.

∴a=3,b²=a²-c²=45-36=9.

∴所求椭圆的标准方程为.

(2)点P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）关于直线y=x的对称点分别为P′(2,5)、F₁′（0，-6）、F₂′(0,6).

设所求双曲线的标准方程为

(a₁>0,b₁>0).

由题意知，半焦距c₁=6,

2a₁=||P′F₁′|-|P′F₂′||=|-|=.

∴a₁=,b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16.

∴所求双曲线的标准方程为.