Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式，并求数列{2^n-1•a_n}的前n项和T_n；
（2）设bn=2an+1，证明：

n

2

-

1

7

＜

b1-1

b2-1

+

b2-1

b3-1

+…+

bn-1

bn+1-1

＜

n

2

．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，2S_n=n+na_n，2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1，两式相减得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1，再写一式，相减整理可得a_n+1+a_n-1=2a_n，从而数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列的通项．
（2）先确定

1

2

-

1

7

•

1

2k

≤   

bk-1

bk+1-1

＜

1

2

，再求和即可证明．

解答：解：（1）当n=1时，2a₁=1+a₁，∴a₁=1
当n≥2时，2S_n=n+na_n，2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1，相减得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1，∴2a_n+1=1+（n+1）a_n+1-na_n，相减得（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1=2（n-1）a_n，即当n≥2时，a_n+1+a_n-1=2a_n
又S₂=3，a₁=1，∴a₂=2，∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a_n=n
∴T_n=1+2•2+3•2²++n•2^n-1，2T_n=2+2•2²++n•2ⁿ，相减整理得T_n=（n-1）•2ⁿ+1
（2）b_n=2ⁿ+1，∴

bk-1

bk+1-1

＜

1

2

，k=1，2，n，∴

b1-1

b2-1

+

b2-1

b3-1

+…+

bn-1

bn+1-1

＜

n

2

．

bk-1

bk+1-1

=

1

2

-

1

7•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

7

•

1

2k

，k=1，2，n
∴

b1-1

b2-1

+

b2-1

b3-1

+…+

bn-1

bn+1-1

＞

n

2

-

1

7

．
∴

n

2

-

1

7

＜

b1-1

b2-1

+

b2-1

b3-1

+…+

bn-1

bn+1-1

＜

n

2

．

点评：本题考查数列的通项与前n项和共存时处理的方法，考查错位相减法求数列的和，同时考查了放缩法证明不等式，有一定的难度．