Question

设动圆：（x-cosθ）²+（y+cosθ-sinθ）²=（2cos³θ-cosθ-sinθ+4）²（θ∈R）的圆心轨迹为曲线C，这些动圆所覆盖的区域记为区域D．
（Ⅰ） 求曲线C的最高点坐标；
（Ⅱ） 求区域D的最高点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，圆心的纵坐标为y=sinθ-cosθ，利用辅助角公式化简，求出函数的最大值，即可求得结论；
（Ⅱ）区域D的最高点坐标，即求圆心的纵坐标与半径和的最大值，利用导数法可求．

解答：解：（Ⅰ）由题意，曲线C：

y=sinθ-cosθ x=cosθ

则y=sinθ-cosθ=

2

(

2

2

sinθ-

2

2

cosθ)=

2

sin(θ-

π

4

)  …（4分）
∴θ-

π

4

=2kπ+

π

2

时，y取最大值

2

，此时θ=2kπ+

3π

4

，cosθ=-

2

2

，
∴最高点坐标为(-

2

2

，

2

)；            …（6分）
（Ⅱ）∵2cos³θ-cosθ-sinθ+4=2cos3θ-

2

sin(θ+

π

4

)+4＞0…（7分）
∴y=sinθ-cosθ+2cos³θ-cosθ-sinθ+4=2cos³θ-cosθ+4        …（9分）
令t=cosθ∈[-1，1]，则y=2t³-2t+4   
由y'=6t²-2=0得t=±

3

3

则

x	-1	(-1，- 3 3 )	- 3 3	(- 3 3 ， 3 3 )	3 3	( 3 3 ，1)	1
y'		+	0	-	0	+
y	4	增	4 3 9 +4	减	- 4 3 9 +4	增	4

∴最高点为(-

3

3

，

4 3

9

+4)                      …（12分）

点评：本题考查圆的标准方程，考查三角函数的化简，考查利用导数法求函数的最值，综合性强