Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos（B-C）+1=4cosBcosC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为2，求b+c．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角恒等变换，化简已知等式可得cos（B+C）=，结合三角形内角的范围算出B+C=，再利用三角形内角和即可得到A的大小；
（II）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积为2算出bc=8．再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入数据化简可得（b+c）²-bc=28，两式联解即可算出b+c的值．
解答：解：（Ⅰ）∵2cos（B-C）+1=4cosBcosC，
∴2（cosBcosC+sinBsinC）+1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=1，可得2cos（B+C）=1，
∴cos（B+C）=．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=．
∴A=π-（B+C）=．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=．
∵S_△ABC=2，∴bcsin=2，解得bc=8．   ①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
（2）²=b²+c²-2bccos，即b²+c²+bc=28，
∴（b+c）²-bc=28．                         ②
将①代入②，得（b+c）²-8=28，
∴（b+c）²=36，可得b+c=6．…（12分）
点评：本题给出三角形的角满足的条件，求A的大小，并在已知三角形面积的情况下求边长．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．