Question

（2013•房山区二模）小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为

1

2

；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为

3

4

，

4

5

．
（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）走路线1最多遇到1次红灯为事件A，分为两种情况，一种是3次都没有遇到红灯，一种是只有一次遇到红灯，可知A～B(3，

1

2

)，计算出即可；
（Ⅱ）由题意可得，X可能取值为0，1，2．利用独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出概率，再利用数学期望计算公式即可；
（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为ξ，则ξ～B（3，

1

2

），利用公式计算出Eξ与EX比较即可．

解答：解：（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为事件A，则
P（A）=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

．
（Ⅱ）由题意可得，X可能取值为0，1，2．
∴P（X=0）=(1-

3

4

)×(1-

4

5

)=

1

20

，
P（X=1）=

3

4

×(1-

4

5

)+(1-

3

4

)×

4

5

=

7

20

，
P（X=2）=

3

4

×

4

5

=

3

5

．
∴随机变量X的分布列为
遇到红灯次数X的数学期望EX=0×

1

20

+1×

7

20

+2×

3

5

=

31

20

．
（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为ξ，则ξ～B（3，

1

2

），
∴Eξ=3×

1

2

=

3

2

．
∵Eξ＜EX，∴选择路线1上学最好．

点评：熟练掌握独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式、分类讨论思想方法、二项分布概率计算公式是解题的关键．