Question

如图，三棱锥P-ABC中，平面PBC丄平面ABC，△PBC是边长为a的正三角形，∠ABC=90°，∠BAC=30°，M是BC的中点．
（I ）求证：AC丄 PB；
（II）求二面角C-PA-M的大小．

Answer 1

分析：（I）由题意及图形可以由平面PBC丄平面ABC证明AC⊥面PBC，再有线面垂直的定义得出AC丄 PB；
（II）可建立空间坐标系求解二面角，如图建立空间直角坐标系M-xyz，其中M为坐标原点，给出两点的坐标，分别求出平面MPA的法向量与平面CAP的方向向量，由公式求出两平面夹角的余弦值，再用反三角函数表示出二面角C-PA-M的大小

解答：解：（I）∵面PBC⊥面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥面PBC，∴AC⊥PB
（II）用向量法求解：作PM⊥BC，垂足为M，在平面ABC内过点M作MQ⊥BC垂足为M，∵平面PBC丄平面ABC，PM，MQ，BC两两垂直，如图建立空间坐标系M-xyz，其中M为坐标原点．
∵三角形PBC是边长为a的正三角形，，∠ABC=90°，∠BAC=30°，M是BC的中点，
∴A（

a

2

，

3

a，0）P（0，0，

3

2

a），C（

a

2

，0，0），
∴

CA

=(0，

3

a，0 )，

CP

=(-

a

2

，0，

3

2

a)，

MA

=(

a

2

，

3

a，0)，

MP

=(0，0，

3 a

2

)
设平面MPA的法向量为

m

=(x，y，z)，∴

m • MA =0 m • MP =0

解得

x=-2 3 y z=0

不妨令y=

3

，则

m

=(-6，

3

，0)
设平面CAP的方向向量为

n

=(p，q，r)∴

n • CA =0 n • CP =0

，解得

y=0 x= 3 z

不妨令z=

3

，则

n

=(3，0，

3

)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m || n |

=-

3 13

13

∴二面角的大小是arccos

3 13

13

点评：本题考查空间向量求二面角，本题解题的关键是建立坐标系，把难度比较大的二面角的求法，转化成了数字的运算．由于运算量大易因为运算出错，解题时要严谨．