Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（3）解不等式f(x)＞

7

9

．

Answer 1

分析：（1）根据函数的定义域为R，关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得函数为奇函数．
（2）利用函数的单调性的定义证明f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
（3））根据f(3)=

7

9

，f(x)＞

7

9

，可得不等式即 f（x）＞f（3）．再由f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，求得不等式f(x)＞

7

9

的解集．

解答：解：（1）f（x）为奇函数．∵f（x）的定义域为R，对?x∈R，
有f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，∴f（x）为奇函数．…（4分）
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．∵对-∞＜x₁＜x₂＜+∞，2x1-2x2＜0，f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
故 f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．…（8分）
（3）∵f(3)=

7

9

，又∵f(x)＞

7

9

，即为f（x）＞f（3）．…（10分）
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴不等式f(x)＞

7

9

的解集为{x|x＞3}．…（13分）

点评：本题主要考查指数函数的性质的综合应用，判断、证明函数的奇偶性和单调性的方法，属于中档题．