题目内容
已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量
满足
，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0。
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为
时，求p的值。
满足，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0。（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为
时，求p的值。解：（1）∵
∴
即
整理得
∴
①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
即
展开上式并将①代入得
故线段AB是圆C的直径。
（2）设圆C的圆心为C（x，y），则
∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
所以圆心的轨迹方程为：
设圆心C到直线
的距离为d，则
当
时，d有最小值
由题设得
∴p=2。
∴
即
整理得
∴
①设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
即
展开上式并将①代入得
故线段AB是圆C的直径。
（2）设圆C的圆心为C（x，y），则
∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
所以圆心的轨迹方程为：
设圆心C到直线
的距离为d，则当
时，d有最小值由题设得
∴p=2。
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