Question

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），又当x₂＞x₁＞0时，f（x₂）＞f（x₁）．
（1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；
（2）若有f（x）+f（x-2）≤3成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），通过赋值法即可求得f（1），f（4），f（8）的值；
（2）由“x₂＞x₁＞0时，f（x₂）＞f（x₁）”可知f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，从而f[x（x-2）]≤f（8）可脱去函数“外衣”，求得x的取值范围．

解答：解：（1）f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，
f（8）=f（2）+f（4）=2+1=3．
（2）∵f（x）+f（x-2）≤3，∴f[x（x-2）]≤f（8），
又∵对于函数f（x）有x₂＞x₁＞0时f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
∴

x＞0 x-2＞0 x(x-2)≤8

解得2＜x≤4
∴x的取值范围为（2，4]

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的性质及函数求值，（2）中判断函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数是关键，属于中档题．