Question

已知1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3,求2x-3y的取值范围.

Answer 1

解：作出一元二次不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域.

考虑z=2x-3y，将它变形为y=x-z，这是斜率为,随z变化的一组平行直线.-z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最小.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x-3y取得最小值；当直线截距最小时，z的值最大.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x-3y取得最大值.

由图可见，当直线z=2x-3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小.

解方程组得A的坐标为(2,3).

所以z_min=2x-3y=2×2-3×3=-5.

当直线z=2x-3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.

解方程组得B的坐标为(2,-1).

所以z_max=2x-3y=2×2-3×(-1)=7.