Question

已知集合A={x|x²-4ax+2a+6=0}，B={x|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.

Answer 1

思路解析一：由A∩B≠可知，方程x²-4ax+2a+6=0至少有一个负实根，即有两负根、一负根一零根、一负根一正根三种情况.

解法一：∵A∩B≠，B={x|x＜0}，

∴方程x²-4ax+2a+6=0至少有一负根.

（1）当方程x²-4ax+2a+6=0有两个负根时，

即解得-3＜a≤-1.

（2）当方程x²-4ax+2a+6=0有一负根一零根时，

解得a=-3.

（3）当方程x²-4ax+2a+6=0有一负根一正根时，

解得a＜-3.

综上所述，所求实数a的取值范围为a≤-1.

思路解析二：如果从反面考虑，先求出方程x²-4ax+2a+6=0有实根时a的取值范围（可看成全集），然后考虑方程x²-4ax+2a+6=0的两根均为非负实数时a的取值范围，则最后可利用补集求解.

解法二：设全集U={a|Δ=（-4a）²-4（2a+6）≥0}={a|（a+1）（a-）≥0}={a|a≤-1或a≥}.若方程x²-4ax+2a+6=0的两根x₁、x₂均为非负数，则解得a≥.在全集U中，集合{a|a≥}的补集为{a|a≤-1}.∴所求实数a的取值范围是a≤-1.