Question

已知的图像过原点，且在点处的切线与轴平行，对任意，都有.

(1)求函数在点处切线的斜率；

(2)求的解析式；

(3)设，对任意，都有.求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）1；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先根据导数的几何意义，知所求切线的斜率为，然后根据：对任意，都有，即可得到，进而可得；（2）先由函数图像过原点确定，进而由导数的几何意义与（1）中的导数值，可列出方程组即，解出，代入不等式得到，该不等式恒成立，可得，从中就可以确定的值，进而可写出函数的解析式；（3）先将：对任意，都有等价转化为，先利用导数求出函数的最大值为，于是变成了对恒成立问题，采用分离参数法得到时，恒成立，进一步等价转化为，进而再利用导数确定函数的最值即可.

试题解析：（1）根据导数的几何意义可知，函数在点处切线的斜率就是

因为对任意，都有

所以

所以即函数在点处切线的斜率为1

（2）依题意知，而

因为函数的图像在点处的切线与轴平行

所以 ①

而 ②

由①②可解得

因为对任意，都有即恒成立

所以

（3）由（2）得

所以

当时，，此时函数单调递减，此时

当时，，此时函数单调递增，此时

因为

所以当时，

因为对任意，都有

所以，都有即，所以

令

所以

关注到，当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增

所以

所以.

考点：1.导数的几何意义；2.不等式的恒成立问题；3.函数的最值与导数；4.分离参数法.