Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若c=

3

，b=1，B=30°，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，把b，c及cosB的值代入列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值为1或2，若a为1，根据b的值也为1，得到a=b，根据等边对等角及三角形的内角和定理，由B的度数求出C的度数，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把a，b及sinC的值代入即可求出三角形的面积；当a=2时，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，即A为直角，b与c为两直角边，利用直角边乘积的一半即可求出三角形ABC的面积，综上，得到所有满足题意的三角形ABC的面积．

解答：解：∵c=

3

，b=1，B=30°，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：1=a²+3-3a，
即a²-3a+2=0，
解得：a=1或a=2，
当a=1时，由b=1，得到a=b，
∴A=B=30°，
∴C=180°-30°-30°=120°，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

4

；
当a=2时，由b=1，c=

3

，
得到：b²+c²=a²，
∴△ABC为直角三角形，
则△ABC的面积S=

1

2

bc=

3

2

，
综上，△ABC的面积为

3

4

或

3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，同时本题有两解，注意不要漏解．