Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，M为PB的中点。
（1）求证：PA⊥平面CDM；
（2）求二面角D-MC-B的余弦值。

Answer 1

解：由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC，分别以OA、OC、OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则。
（1） 由M为PB中点，，
∴，

∴
∴PA⊥DM，PA⊥DC，
∴PA⊥平面DMC；
（2），设平面BMC的法向量，
则由可得x+z=0，由可得，
取x=-1则，
所以可取，
由（1）知平面CDM的法向量可取，
∴，
又易知二面角D-MC-B为钝二面角，
∴二面角D-MC-B的余弦值为。