Question

已知函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）求函数的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，则f（0）=0，代入解析式可求出a的值；
（2）由（1）知f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，所以f（x）为增函数，任取x₁＜x₂∈R，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，根据函数单调性的定义即可判定；
（3）令y=

2x-1

2x+1

，求出2^x，根据2^x的范围可求出y的范围，从而求出函数的值域．

解答：解：（1）f（x）的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）=0，
∴a=1
（2）由（1）知f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，所以f（x）为增函数
证明：任取x₁＜x₂∈R
f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1) (2x2+1)

∵x₁＜x₂∈R∴2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为R上的增函数．
（3）令y=

2x-1

2x+1

则2x=

-1-y

y-1

而2^x＞0∴2x=

-1-y

y-1

＞0
∴-1＜y＜1
所以函数f（x）的值域为（-1，1）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和函数的值域，属于中档题．