题目内容

已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,f(1)),且在点P处的切线的方程为y=8x-6.

(1)求a,b的值;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)求函数f(sinx)的最值.

解:(1)∵点P在切线上,∴f(1)=2.∴a+b=1.      ①

又函数图象在点P处的切线斜率为8,∴f′(1)=8.又f′(x)=3x2+2ax+b,

∴2a+b=5.      ②

解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.

(2)由(1)得f′(x)=3x2+8x-3,令f′(x)＞0,可得x＜-3或x＞;令f′(x)＜0,可得-3＜x＜.

∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),(,+∞),单调减区间为(-3,).

(3)设sinx=t,则问题可以转化为求函数f(t)(-1≤t≤1)的最值.

由(2)可知f(t)在(-1, )上是减函数,在(,1)上是增函数.

∴f(t)的最小值为f()=+-1=.

又f(-1)=6,f(1)=2,∴f(t)的最大值为f(-1)=6.

∴函数f(sinx)的最小值为,最大值为6.

练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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