Question

下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）上为增函数的是（　　）

• A．y=cos²x-sin²x
• B．y=lg|x|
• C．y=

  ex-e-x

  2

• D．y=x³

Answer 1

分析：利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由“在区间（1，2）内是增函数”可排除A，从而可得答案．

解答：解：①对于A，令y=f（x）=cos²x-sin²x=cos2x，则f（-x）=cos（-x）=cosx=f（x），为偶函数，
而f（x）=cos2x在[0，

π

2

]上递减，在（

π

2

，π]上递增（1，2）?[0，π]，
故f（x）=cos2x在区间（1，2）内不是增函数，故排除A；
②对于B，令y=f（x）=log|x|，x∈R且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，
当x∈（1，2）时，y=f（x）=log|x|=logx，为增函数，故B满足题意；
③对于C，令y=f（x）=x

ex-e-x

2

，x∈R，f（-x）=-f（x），为奇函数，故可排除C；
④对于D，令y=f（x）=x³，x∈R，f（-x）=-f（x），为奇函数，可排除D；
故选B．

点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．