Question

（2013•烟台一模）若点P是以A(-

10

，0)、B(

10

，0)为焦点，实轴长为2

2

的双曲线与圆x²+y²=10的一个交点，则|PA|+|PB|的值为（　　）

• A．2

  2

• B．4

  2

• C．4

  3

• D．6

  2

Answer 1

分析：根据双曲线的焦点与实轴长，算出双曲线方程为

x2

2

-

y2

8

=1．设P（m，n）是双曲线与圆x²+y²=10在第一象限的一个交点，由双曲线方程与圆方程联解算出P（

3

5

10

，

4

5

10

），再由两点间的距离公式分别算出|PA|、|PB|的长，即可得到|PA|+|PB|的值．

解答：解：∵双曲线以A(-

10

，0)、B(

10

，0)为焦点，实轴长为2

2

，
∴2a=2

2

，且c²=a²+b²=10，可得a²=2，b²=8，
因此，双曲线的方程为

x2

2

-

y2

8

=1．
设P（m，n）是双曲线与圆x²+y²=10在第一象限的一个交点，
由

m2 2 - n2 8 =1 m2+n2=10

，解之得m=

3

5

10

，n=

4

5

10

，得P（

3

5

10

，

4

5

10

）
因此，|PA|=

( 3 5 10 + 10 )2+( 4 5 10 )2

=4

2

，|PB|=

(- 3 5 10 + 10 )2+( 4 5 10 )2

=2

2

∴|PA|+|PB|=6

2

故选：D

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程并求该双曲线与圆x²+y²=10的交点P到双曲线两个焦点的距离和．着重考查了双曲线的定义与标准方程、圆与双曲线的位置关系和坐标系内两点间的距离公式等知识，属于中档题．