Question

已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-2，2]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的单调区间；
（3）求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（a+2）=18可得3^a+2=18，求得3^a=2，可得g（x）的解析式．
（2）根据g（x）=2^x-（2^x）²，x∈[-2，2]，设t=2x，t∈[

1

4

，4]，则y=t-t2=-(t-

1

2

)2+

1

4

，根据复合函数的单调性求得g（x）的单调区间．
（3）根据g（x）的单调性求得它的最值，从而求得g（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，∴3^a+2=18，得3^a=2，
∴g（x）=2^x-4^x，x∈[-2，2]．
（2）∵g（x）=2^x-4^x =2^x-（2^x）²，x∈[-2，2]，
设t=2x，t∈[

1

4

，4]，则y=t-t2=-(t-

1

2

)2+

1

4

，在[

1

2

，4]上单调递减，
在[

1

4

，

1

2

)上单调递增，∵t=2^x为[-2，2]上的增函数，
∴g（x）在[-1，2]上为减函数，在[-2，-1）上为增函数．
（3）由（2）知g（x）在[-1，2]上为减函数，在[-2，-1）上为增函数，且g(2)=-12＜

3

16

=g(-2)，
∴g（x）_min=g（2）=-12，g(x)max=g(-1)=

1

4

，
∴-12≤g(x)≤

1

4

，
故g（x）的值域为[-12，

1

4

]．

点评：本题主要考查指数函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．