Question

【题目】对于函数，若存在成立，则称的不动点.如果函数

有且只有两个不动点0，2，且

（1）求函数的解析式；

（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；

（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）根据题意得方程有两解0，2，代入可得再根据得结合解得c,b，最后代入验证舍去不满足题意的解，（2）代入化简得再根据和项与通项关系解得最后代入验证，根据等差数列通项公式求结果，（3）利用反证法，假设先由得，再根据得两者矛盾，即得结论.

解：设得：由违达定理得：

解得代入表达式，由

得不止有两个不动点，

（2）由题设得 （A）

且 （B）

由（A）（B）得：

解得（舍去）或；由，若这与矛盾，

，即{是以1为首项，1为公差的等差数列，

；

（3）证法（一）：运用反证法，假设则由（1）知

∴，而当

这与假设矛盾，故假设不成立，∴.

证法（二）：由

得<0或结论成立；

若 ，此时从而

即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.