Question

已知函数和函数g（x）=2^x-2^-x
（1）判断的奇偶性，并判断和证明y=lgh（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意h（x）===，代入检验h（-x）与h（x）的关系即可判断函数的奇偶性；由h（x）＞0可得x＞0
设0＜x₁＜x₂，则通过判断h（x₁）-h（x₂）=的正负可先判断h（x）在（0，+∞）上的单调性，然后根据复合函数的单调性即可
（2）由函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数可得h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，整理可得恒成立（t=），从而可求λ的范围
解答：解：（1）f（x）==，
∵h（x）===
∴==-h（x）
∴函数h（x）为奇函数  
=由h（x）＞0可得x＞0
设0＜x₁＜x₂，则h（x₁）-h（x₂）==
∵0＜x₁＜x₂，则，
∴h（x₁）＞h（x₂），lgh（x₁）＞lgh（x₂）
∴y₁＞y₂
函数y=lgh（x）在（0，+∞）上递减…（6分）
（2）∵函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数
∴
∴恒成立
∴λ≥1…（8分）
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断及理由定义证明、判断函数的单调性，及函数单调性的定义的应用，属于函数知识的综合应用，具有一定的综合性．