Question

已知三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=2，则三棱锥S-ABC体积的最大值为 ________．

Answer 1

1
分析：画出图形，知三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=2，BC的大小不定，三棱锥S-ABC体积最大时即三棱锥B-SAC的体积最大，当三棱锥B-SAC底面上的高最大时，即平面BAS⊥平面SAC时，三棱锥B-SAC的体积最大，从而求出体积最大值．
解答：解：如图，三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=2，
三棱锥S-ABC的体积为：V_S-ABC=V_B-SAC，
当且仅当平面BAS⊥平面SAC时，三棱锥S-ABC的体积最大，
此时，在平面BAS中，作BD⊥SA，则BD⊥平面SAC；
∴BD是三棱锥B-SAC底面上的高，
所以三棱锥的最大体积为：V_S-ABC=V_B-SAC=•S_△SAC•BD=••2•2•sin60°••2=1．
故答案为：1．
点评：本题借助于求三棱锥的体积考查空间中的垂直关系，其关键是三棱锥底面积一定，高取最大值时，体积最大．