Question

（2013•通州区一模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2

2

，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分别为CC₁，AB的中点，求证：CN∥平面AB₁M．

Answer 1

分析：（I）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，利用线面垂直的性质定理可得　CC₁⊥BC．由已知　AC=BC=2，AB=2

2

，可得AC²+BC²=AB²，利用勾股定理的逆定理得到BC⊥AC．    再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ACC₁A₁．进而利用线面垂直的性质定理即可得出结论．
（II） 过N作NP∥BB₁交AB₁于P，连接MP，则NP∥CC₁． 由已知　M，N分别为CC₁，AB中点，利用平行线分线段成比例定理可得CM=

1

2

CC1，NP=

1

2

BB1．进而可得四边形MCNP是平行四边形，利用其性质可得　CN∥MP．再利用线面平行的判定定理即可证明结论．

解答：证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥BC．              
∵AC=BC=2，AB=2

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴BC⊥AC．    
又∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．                      
∵AM?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AM．                             
（Ⅱ）过N作NP∥BB₁交AB₁于P，连接MP，则NP∥CC₁． 
∵M，N分别为CC₁，AB中点，
∴CM=

1

2

CC1，NP=

1

2

BB1．
∵BB₁=CC₁，
∴NP=CM．         
∴四边形MCNP是平行四边形．
∴CN∥MP．                               
∵CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，
∴CN∥平面AB₁ M．

点评：本题综合考查了线面垂直与平行的判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质定理、勾股定理的逆定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．