Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)成中心对称，对任意实数x都有f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，且f（-1）=1，
f（0）=-2，则f（0）+f（1）+…+f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：由已知中定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)成中心对称，对任意实数x都有f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，我们易判断出函数f（x）是周期为3的周期函数，进而由f（-1）=1，f（0）=-2，我们求出一个周期内函数的值，进而利用分组求和法，得到答案．

解答：解：∵f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，
∴f(x+3)=-

1

f(x+ 3 2 )

=f(x)，所以，f（x）是周期为3的周期函数．
f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，又f(-1)=-

1

f(-1+ 3 2 )

，
∴f(

1

2

)=-1，
∵函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)，
∴f(1)=-f(-

5

2

)=-f(

1

2

)=1，
∴f（0）+f（1）+…+f（2010）=f（2010）=f（0）=-2．
故答案为：-2

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，其中根据已知中对任意实数x都有f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，判断出函数的周期性，是解答本题的关键．