Question

设f（x）是定义在R上的奇函数且f（a+x）=f（a-x），则使=0成立的a值有________个．

Answer 1

1
分析：由已知可知，f（-x）=-f（x）结合条件f（a+x）=f（a-x）可求函数的周期，结合所求的式子即可求解a
解答：∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵f（a+x）=f（a-x）
∴f（2a-x）=f（x）=-f（-x）
∴f（2a+x）=-f（x），f（4a+x）=f（x）即函数是以4a为周期的函数
当a=1时，周期T=4，
∵f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{2})+f(\frac{5}{2})+f(\frac{7}{2})=0成立
∴f（\frac{7}{2}）=f（4-\frac{1}{2}）=-f（\frac{1}{2}），f（\frac{5}{2}）=f（4-\frac{3}{2}）=-f（\frac{3}{2}），满足条件
∴a=1
故答案为：1
点评：本题主要考查了抽象函数的奇偶性及对称性及周期性的综合应用，解题的关键是熟练应用已知知识．