Question

已知函数f(x)=

sin2x+cosx+1

cosx+1

（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的最小正周期并判断其奇偶性；
（3）求函数f（x）的单调区间和最值．

Answer 1

分析：（1）由1+cosx≠0即可求得函数f（x）的定义域；
（2）利用同角三角函数基本关系通过约分可求得f（x）=2-cosx，从而可求函数f（x）的最小正周期并判断其奇偶性；
（3）利用余弦函数的性质可求函数f（x）=2-cosx的单调区间和最值．

解答：解：（1）由1+cosx≠0得：x≠2kπ+π，k∈Z，
∴数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ+π，k∈Z}．
（2）依题意得：f（x）=

sin2x+cosx+1

cosx+1

=

1-cos2x+cosx+1

cosx+1

=

(1+cosx)(1-cosx)+(cosx+1)

cosx+1

=1-cosx+1
=2-cosx，
∴f（x）的最小正周期T=2π．
∵f（x）的定义域关于原点对称，且f（-x）=2-cos（-x）=2-cosx=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（3）由于cosx≠-1，则-1＜cosx≤1，
∴1≤2-cosx＜3，即f（x）∈[1，3），当cosx=1，即x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值1，
∴函数f（x）=2-cosx的单调增区间为[2kπ，2kπ+π）（k∈Z），单调减区间为（2kπ-π，2kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查余弦函数的定义域，考查其单调性与最值，考查同角三角函数基本关系，求得f（x）=2-cosx是关键，属于中档题．