Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，n为正整数，且a3+

1

32

是a2，a4的等差中项，
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若Cn=-

log an 1 2

an

•Tn=C1+C2+…+Cn求使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整数n的最小值．

Answer 1

（1）根据题意可得：2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，
所以（a_n+1+2a_n）（2a_n+1-a_n）=0，
因为数列{a_n}各项均为正数，
所以an+1= 

1

2

an，
所以数列{a_n}是等比数列，并且公比为

1

2

．
因为a3+

1

32

是a2，a4的等差中项，
所以a2+a4=2a3+

1

16

，即a1q+a1q3=2a1q2+

1

16

，
解得：a1=

1

2

．
所以数列{a_n}通项公式为an=(

1

2

)n．
（2）由（1）可得C_n=-n•2ⁿ，
所以T_n=-2-2×2²-3×2³-…-n×2ⁿ…①，
所以2T_n=-2²-2×2³-3×2⁴…-（n-1）2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹…②
所以①-②并且整理可得：T_n=（1-n）•2^n-1-2．
所以要使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立，只要使2ⁿ⁺¹-2＞125成立，即2ⁿ⁺¹＞127，
所以n≥6，
所以使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整数n的最小值为6．