题目内容

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，若f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），且f（x）=ax•g（x）（a＞0且a≠1）及
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
10
3
，则a的值为
1
3
1
3
．
分析：由题意，得
f(x)
g(x)
=ax，再结合题中等式建立关于a的方程：a+
1
a
=
10
3
，解之得a=32或
1
3
．再根据f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）可证出y=ax是R上的减函数，得a∈（0，1），由此可得a=
1
3
．
解答：解：∵f（x）=ax•g（x）
∴
f(x)
g(x)
=ax，得
f(1)
g(1)
=a，
f(-1)
g(-1)
=a-1=
1
a

因此
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
10
3
即a+
1
a
=
10
3

解之得a=3或
1
3

设F（x）=
f(x)
g(x)
，则F'（x）=
f′(x)g(x)-f(x)g′(x)
g′(x)

∵f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），
∴F'（x）=
f′(x)g(x)-f(x)g′(x)
g′(x)
＜0在R上成立，故F（x）是R上的减函数
即y=ax是R上的减函数，故a∈（0，1）
所以实数a的值为
1
3

故答案为：
1
3
点评：本题给出含有指数形式的函数，求解关于字母a的方程，着重考查了指数函数的单调性和导数的运算法则等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）=axg（x），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，在有穷数列{
f(n)
g(n)
}，(n=1，2，…，10)中任取前k项相加，则前k项和大于
15
16
的概率为
 
．
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），f（x）=ax•g（x），（a＞0且a≠1）
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，令an=
f(n)
g(n)
，则使数列{an}的前n项和Sn超过
15
16
的最小自然数n的值为
 
．
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1，
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，对于有穷数列
f(n)
g(n)
=(n=1，2，…0)，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于
15 
16
的概率是（　　）
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）=g（x）ax（a＞0且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，则a的值为
1
2
1
2
．
已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）
（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其单调性（无需证明）．
（2）求使f（x）＜0的x取值范围．
（3）设h-1（x）是h（x）=log2x的反函数，若存在唯一的x使
1-h-1(x)1+h-1(x)
=m-2x成立，求m的取值范围．

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