Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-mf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，函数的对称轴为直线x=-1，设出顶点式，利用f（0）=0，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）确定函数g（x）的解析式，再分类讨论，利用g（x）在[-1，1]上是减函数，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）由题意，函数的对称轴为直线x=-1，设f（x）=a（x+1）²-1，
∵f（0）=0，∴a-1=0，∴a=1，
∴f（x）=（x+1）²-1；
（2）g（x）=f（-x）-mf（x）+1=（-x+1）²-1-m（x+1）²+m+1=（1-m）x²-2（1+m）x+1
①m=1时，g（x）=-4x+1在[-1，1]上是减函数，满足题意；
②

1-m＞0 1+m 1-m ≥1

或

1-m＜0 1+m 1-m ≤-1

，解得0≤m＜1或m＞1
综上知，m≥0．

点评：本题考查函数解析式的求解，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．