Question

若等差数列{a_n}满足a₇=p,a₁₄=q(p≠q)，求a₂₁.

Answer 1

思路分析一：等差数列{a_n}的公差d显然不为零，此时通项a_n=a₁+（n-1）d=dn+(a₁-d)是关于n的一次函数，表现在图象上是直角坐标系中一些孤立的点.在不知道首项和公差的情况下，不妨设a_n=kn+b(k≠0)，则有k=(此处k=d).

解法一：由题意得公差d≠0，故设a_n=dn+b(b=a₁-d为常数)是关于n的一次函数，

∴（7,p），（14，q）是直线y=dx+b上的点.

设a₂₁=y₀，则点（21，y₀）也是直线y=dx+b上的点.

∴有d=

即

解得y₀=2q-p,即a₂₁=2q-p.

思路分析二：可以先求出公差，再求通项而得解，或用a₂₁=a₇+14d.

解法二：∵a₁₄-a₇=7d，

∴d=

∴a_n=a₇+(n-7)d，

∴a₂₁=a₇+14d=p+2(q-p)=2q-p.