Question

已知函数f（x）=（a+1）x²+4ax-3．
（Ⅰ）当a＞0时，若方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1，求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，在x=2时取得最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a＞0可知函数的二次项系数大于0，若方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1，所以只需f（1）＜0即可；
（Ⅱ）分二次项系数a+1=0，a+1＞0，a+1＜0三种情况讨论，当a+1=0是显然不满足题意，当二次项系数大于0时，需要对称轴为直线x=1或在其左侧，当二次项系数小于0时需对称轴在直线x=2或其右侧，求解后取并集即可得到答案．

解答：解：（1）当a＞0时，a+1＞0，故抛物线y=f（x）开口向上，
而△=（4a）²+12（a+1）=4（4a²+3a+3）＞0，
则抛物线y=f（x）与x轴总有两个交点，要方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1，
则有

a＞0 f(1)＜0

⇒0＜a＜

2

5

；
（2）若a+1=0，即a=-1时，则f（x）=-4x-3，不在x=2时取得最大值，
若a+1＞0，即a＞-1时，则-

2a

a+1

≤1，解得a≥-

1

3

，
若a+1＜0，即a＜-1时，则-

2a

a+1

≥2，解得a≥-

1

2

，与a＜-1矛盾．
综上可得a的取值范围是a≥-

1

3

．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数在闭区间上的最值，解答的关键是借助于二次函数的对称轴和端点值之间的关系，是中档题．