Question

已知函数f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+

1

2

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合；
（3）求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用将f（x）转化为f（x）=sin（2x-

π

6

）+1，即可求函数f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质可求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可求其单调递增区间，由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）可求f（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）∵f（x）=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
即x∈{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}时，f（x）_max=2；
当2x-

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），
即x∈{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}时，f（x）_min=0；
（3）当2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），时，f（x）单调递增．
当2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
即kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）时，f（x）单调递减．
故f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的最值及单调性，考查分析与运算能力，属于中档题．