Question

【题目】已知f（x）= ，g（x）=ax3﹣x2﹣x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）的图象C在x=﹣ 处的切线方程是y= ．
（1）若求a，b的值，并证明：当x∈（﹣∞，2]时，g（x）的图象C上任意一点都在切线y= 上或在其下方；
（2）求证：当x∈（﹣∞，2]时，f（x）≥g（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：g'（x）=3ax2﹣2x﹣1，

因为g（x）=ax3﹣x2﹣x+b的图象C在 处的切线方程是 ，

所以 ，即 ，解得a=1．

因为图象C过点 ，所以 ，解得 ．

要证明：当x∈（﹣∞，2]时，g（x）的图象C上任意一点都在切线 上或在其下方，

只要证明：当x∈（﹣∞，2]时， ．

令 ，

，令 ，得 ，

验证得 ，

所以x∈（﹣∞，2]， 成立，

所以当x∈（﹣∞，2]时，g（x）的图象C上任意一点都在切线 上或在其下方

（2）解：只要证明：x∈（﹣∞，2]， ．

x∈（﹣∞，2]，令 ，

，令 ，

当 时，h'（x）＜0，当 时，h'（x）＞0，所以 ，

所以x∈（﹣∞，2]， 成立，

又由（1）得，x∈（﹣∞，2]， ，

所以x∈（﹣∞，2]， ，

所以x∈（﹣∞，2]，f（x）≥g（x）．

【解析】（1）求出函数的导数，根据 ，求出a的值，图象C过点 ，求出b的值，问题转化为证明当x∈（﹣∞，2]时， ，根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为证明x∈（﹣∞，2]， ，构造函数g（x），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．