Question

已知定义域为R的函数f(x)=

2x-1

a+2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在R上是增函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数是奇函数，
∴f（1）+f（-1）=0，可得

1

a+4

+

- 1 2

a+1

=0，解之得a=2-----------（3分）
检验：a=2时，f(x)=

2x-1

2+2x+1

，
∴f(-x)=

2-x-1

2+2-x+1

=

2x(2-x-1)

2x(2+2-x+1)

=

1-2x

2x+1+2

∴f（x）+f（-x）=0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．-----------（5分）
（2）证明：令t=2^x，则y=

t-1

2+2t

=

1

2

•

t-1

t+1

=

1

2

(1-

2

t+1

)=

1

2

-

1

t+1

设x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂
∵t=2^x在R上是增函数，∴0＜t₁＜t₂
当0＜t₁＜t₂时，y1-y2=

1

2

-

1

t1+1

-(

1

2

-

1

t2+1

)=

1

t2+1

-

1

t1+1

=

t1-t2

(t1+1)(t2+1)

∵0＜t₁＜t₂
∴t₁-t₂＜0，t₁+1＞0，t₂+1＞0
∴y₁＜y₂，可得f（x）在R上是增函数---------------（10分）
（3）∵f（x）是奇函数
∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0等价于f（mt²+1）＞f（mt-1）
∵f（x）在R上是增函数
∴对任意的t∈R，不原不等式恒成立，即mt²+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立，
化简整理得：mt²-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立
1°m=0时，不等式即为2＞0恒成立，符合题意；
2°m≠0时，有

m＞0 △=m2-8m＜0

即0＜m＜8
综上所述，可得实数m的取值范围为0≤m＜8-------------（16分）