Question

直线y=x+b与抛物线y²=2x，当b=

 

时，有且只有一个公共点；当b∈

 

时，有两个不同的公共点；当b∈

 

时，无公共点．

Answer 1

分析：先把直线方程代入抛物线方程消去x，求得方程得判别式，分别根据判别式等于0，大于0和小于0求得b的范围．

解答：解：

y=x+b y 2=2x

消去x得y²-2y+2b=0
△=4-8b=0，即b=

1

2

时，直线与抛物线有一个公共点；
△=4-8b＞0，即b＜

1

2

时，即b∈（-∞，

1

2

）时，直线与抛物线有二个公共点；
△=4-8b＜0，即b＞

1

2

时，即b∈（

1

2

，+∞）时，直线与抛物线没有个公共点；
故答案为

1

2

，（-∞，

1

2

），（

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．