Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=2．
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）若f（x-1）+f（x+2）≤4，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1⇒f（1）=0，再令x=y=2，即可求得f（4）的值；
（2）由f（x-1）+f（x+2）≤4⇒f[（x-1）（x+2）]≤f（4），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，解不等式组

x-1＞0 x+2＞0 (x-1)(x+2)≤4

即可求得x的取值范围．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（x）=f（1）+f（1），
故f（1）=0；
令x=y=2，得f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2+2=4．
∴f（1）=0，f（4）=4．
（2）由（1）知，f（4）=4，
∴f（x-1）+f（x+2）≤4⇒f[（x-1）（x+2）]≤f（4），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

x-1＞0 x+2＞0 (x-1)(x+2)≤4

，即

x＞1 x＞-2 -3≤x≤2

，
解得：1＜x≤2，
∴x的取值范围是（1，2]．

点评：本题考查抽象函数应用应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，属于中档题．