Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁CC₁．
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB=

2

，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角即可．
（2）根据点的特殊位置设出点的坐标为E（1，y，0），再利用向量的基本运算证明两个向量垂直即可证明两条直线相互垂直．
（3）结合题意求出两个平面的法向量求出两个法向量的夹角，再转化为两个平面的二面角即可．

解答：解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C₁（1，2，0），B₁（0，2，0）
（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
平面ABC的法向量

BB1

=(0，2，0)，又

BC1

=(1，2，0)，
设BC₁与平面ABC所成角为θ
，则sinθ=|cos＜

BB1

，

BC1

＞|=

2 5

5

．
（2）设E（1，y，0），A（0，0，z），则

EB1

=(-1，2-y，0)，

EA

=(-1，-y，z)
∵EA⊥EB₁，
∴

EB1

• 

EA

=1-y(2-y)=0
∴y=1，即E（1，1，0）所以E为CC₁的中点．
（3）∵A（0，0，

2

），则

AE

=(1，1，-

2

)，

B1E

=(1，-1，0)，
设平面AEB₁的法向量m=（x₁，y₁，z₁），
则

m • AE =0  m • B1E =0

∴

x1+y1- 2  z1=0 x1- y1=0

，
取

n

=(1，1，

2

)，
∵

BE

=(1，1，0)，

BE

•

B1E

=1-1=0
∴BE⊥B₁E，又BE⊥A₁B₁∴BE⊥平面A₁B₁E，
∴平面A₁B₁E的法向量

BE

=(1，1，0)，
∴cos＜

n

，

BE

＞ =

2

2

，
∴二面角A-EB₁-A₁为45°．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征以便距离空间直角坐标系，进而结合向量的基本运算计算空间角证明线面垂直，但向量法对运算能力有较高的要求．