Question

对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”；若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．

(1)求证；

(2)若f(x)＝ax²－1(a∈R，x∈R)，且，求实数a的取值范围；

(3)若f(x)是R上的单调递增函数，x₀是函数的稳定点，问x₀是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)若，则显然成立；　2分 　　若，设，有，则，故　4分 　　(2)因为所以方程有实根 　　　解得　5分 　　又所以即的左边有因式从而有　7分 　　∵A＝B，∴方程要么没有实根，要么实根是方程的根．若方程没有实根，则，由此解得；　9分 　　若方程有实根且实根是方程的根，则由方程得代入有．由此解得再代入得，由此解得　11分 　　∴a的取值范围是　12分 　　(3)由题意是函数的稳定点则设是R的单调增函数，则所以，矛盾．　14分 　　若是R的单调增函数，则所以，矛盾．故．所以是函数的不动点．　16分