Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点，
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为侧面均为正方形， 所以， 所以是直三棱柱， 因为， 又因为 所以， 因为， 所以A1D⊥平面BB1C1C； （Ⅱ）证明：连结于点O，连结OD， 因为为正方形，所以O为AC1中点， 所以， 因为， 所以AB1∥平面A1DC； (Ⅲ)解：因为侧面均为正方形， ， 所以两两互相垂直， 如图所示建立直角坐标系A-xyz， 设AB=1， 则， ， 设平面的法向量为， 则有 ， 又因为， 所以平面的法向量为， ， 因为二面角D-A1C-A是钝角， 所以，二面角D-A1C-A的余弦值为。