题目内容

椭圆 $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆M上任一点，且 $数学公式$ 的最大值的取值范围是[c²，3c²]，其中 $数学公式$ ．则椭圆M的离心率e的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：先根据题意得到两焦点的坐标，设出点P的坐标进而可表示出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，再得到二者的数量积后将 $\text{[math]}$ 代入消去x得到关于y的关系式，进而可得到当y=0时 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值取到最大，进而可求出离心率的取值范围．
解答：由题意可知F₁（-c，0），F₂（c，0），设点P为（x，y）
∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =x²-c²+y²= $\text{[math]}$ -c²+y²
= $\text{[math]}$
当y=0时 $\text{[math]}$ 取到最大值a²-c²，即c²≤a²-c²≤3c²，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．故椭圆m的离心率e的取值范围 $\text{[math]}$ ．
故选B．
点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

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